A functional approach to physics-informed neural networks (2025)
- Authors:
- Autor USP: ZEISER, MATEUS HENRIQUE - IME
- Unidade: IME
- Sigla do Departamento: MAP
- DOI: 10.11606/D.45.2025.tde-15012026-154642
- Subjects: APRENDIZADO COMPUTACIONAL; EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS; REDES NEURAIS
- Keywords: Aprendizado de máquina científico; Funcional-PINNs; Functional PINN; Partial differential equations; Physics-informed neural networks; Redes neurais informadas pela física; Scientific machine learning
- Agências de fomento:
- Language: Inglês
- Abstract: Esta dissertação investiga o uso de funcionais de energia derivados da formulação variacional de equações diferenciais parciais (EDPs) como base para o treinamento de Physics-Informed Neural Networks(PINNs). O trabalho inicia revisitando o papel das EDPs na modelagem de fenômenos físicos e biológicos, enfatizando a importância dos princípios variacionais como fundamento matemático para a obtenção de soluções fracas e para o desenvolvimento de métodos numéricos, como o Método dos Elementos Finitos (FEM). Também são revisados conceitos essenciais de Aprendizado de Máquina, incluindo teoria do aprendizado estatístico, aprendizado supervisionado, redes neurais profundas e o processo de treinamento baseado na minimização do risco empírico. Nesse contexto, a utilização da diferenciação automática surge como ferramenta fundamental para o cálculo eficiente de gradientes em modelos de alta dimensão. Com base nesses elementos teóricos, exploramos a Functional-PINN (Fun-PINN), um modelo em que o treinamento é guiado pela minimização de um funcional de energia diretamente associado à EDP, o que reduz a ordem das derivadas requeridas durante o treinamento, resultando em ganhos de eficiência computacional. Além disso, introduzimos a Self-Adaptive Functional-PINN (SA Fun-PINN), que ajusta dinamicamente, durante o treinamento, a importância relativa entre os termos de energia e de contorno. Ambos os modelos foram avaliados em comparação com PINNs clássicas e suas versõesauto-adaptativas (SA-PINNs), em experimentos numéricos projetados para avaliar convergência, acurácia e eficiência computacional. Foram considerados dois casos de teste: um com solução suave, baseado na equação de Laplace, e outro com perfil mais oscilatório, baseado na equação de Poisson, permitindo analisar o desempenho sob diferentes níveis de complexidade. As Fun-PINNs apresentaram dinâmicas de treinamento estáveis e proporcionaram reduções significativas no tempo de execução, enquanto a versão auto-adaptativa melhorou ainda mais a acurácia com menor custo computacional em comparação às SA-PINNs. Em particular, a abordagem funcional mostrou desempenho superior no caso oscilatório. Porém, olhando para a Fun-PINN como um todo, com esses experimentos não podemos garantir que os resultados sejam melhores do que os obtidos com as PINNs; mostramos que elas podem ser uma alternativa que também entrega bons resultados.De forma geral, este trabalho evidencia como conceitos matemáticos clássicos, como formulações variacionais e minimização de funcionais de energia, podem ser integrados de maneira eficaz a técnicas modernas de aprendizado de máquina. Os modelos funcionais propostos combinam consistência teórica com eficiência prática, estabelecendo um caminho promissor para futuras aplicações em problemas de EDP mais complexos, incluindo problemas inversos e formulações híbridas que integrem PINNs a métodos numéricos tradicionais
- Imprenta:
- Data da defesa: 28.11.2025
- Este periódico é de acesso aberto
- Este artigo NÃO é de acesso aberto
-
ABNT
ZEISER, Mateus Henrique. A functional approach to physics-informed neural networks. 2025. Dissertação (Mestrado) – Universidade de São Paulo, São Paulo, 2025. Disponível em: https://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45132/tde-15012026-154642/. Acesso em: 21 jan. 2026. -
APA
Zeiser, M. H. (2025). A functional approach to physics-informed neural networks (Dissertação (Mestrado). Universidade de São Paulo, São Paulo. Recuperado de https://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45132/tde-15012026-154642/ -
NLM
Zeiser MH. A functional approach to physics-informed neural networks [Internet]. 2025 ;[citado 2026 jan. 21 ] Available from: https://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45132/tde-15012026-154642/ -
Vancouver
Zeiser MH. A functional approach to physics-informed neural networks [Internet]. 2025 ;[citado 2026 jan. 21 ] Available from: https://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45132/tde-15012026-154642/
Informações sobre o DOI: 10.11606/D.45.2025.tde-15012026-154642 (Fonte: oaDOI API)
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