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Congruência de subvariedades de um espaço euclideano (1964)

  • Autor:
  • Autor USP: RODRIGUES, ALEXANDRE AUGUSTO MARTINS - EP
  • Unidade: EP
  • Sigla do Departamento: SD
  • Assunto: GEOMETRIA
  • Language: Português
  • Abstract: Neste trabalho apresentamos os resultados que obtivemos ao investigar o problema de congruência de duas subvariedades de dimensão p de um espaço euclideano E de dimensão n. Em outras palavras, o problema que abordamos é determinar uma condição necessária e suficiente para que dadas duas subvariedades S e S: de E, de mesma dimensão, exista um movimento rígido que transforme S e, S:. Resolvemos essa questão (teorema 2.3) construindo para cada subvariedade de E um sistema completo de invariantes, de tal modo que duas subvariedades de mesma dimensão são congruentes se e somente se elas possuem os mesmos invariantes, em um sentido que é elucidado no texto. Mais precisamente, mostramos que a métrica riemaniana induzida pela métrica de E, as n-p formas quadráticas fundamentais e a conexão normal determinam uma subvariedade de dimensão p a menos de um movimento rígido. Nossos invariantes são assim intrinsicamente ligados à subvariedade e não dependem de escolha de coordenadas. Um aspecto próprio de nosso trabalho é o uso da conexão normal. Embora essa conexão, associada a uma subvariedade de uma variedade riemanniana seja, provavelmente, mais ou menos conhecida dos especialistas, não temos notícia de nenhum trabalho que a defina explicitamente. A métrica riemanniana, as formas quadráticas e a conexão normal de uma subvariedade E não são independentes e um problema que se põe é determinar quais são as relações existentes entre esses entes geométricos. Ainda mais, é natural procurar uma condição necessária e suficiente para que, definidos esses elementos em um aberto U do espaço euclidiano Rp, eles possam ser tomados, localmente, como a métrica riemanniana, as formas quadráticas e a conexão normal de uma subvariedade de E. Este problema é resolvido peloteorema 2.4. Salientamos aqui a simplicidade e o conteúdo geométrico das relações obtidas. As condições 1), 2) e 3) do teorema 2.4 relacionam uma matriz T, definida por meio das formas quadráticas, com a curvatura riemanniana e a curvatura da conexão normal da subvariedade e impõem que a diferencial covariante de T seja nula. O tema desta tese foi investigado por vários autores (veja-se, por exemplo, [7] e [9], com métodos e resultados bem diversos dos nossos. Usamos o método do referencial móvel (methods du repère mobile) de E. Cartan que permite formular o problema globalmente, independentemente da escolha de coordenadas. Embora o teorema 2.4 seja de natureza local, acreditamos que nossa formulação deverá ser útil no tratamento de questões globais, sobre as quais tão pouco se sabe. A ideia principal de nossa trabalho consiste em reduzir o problema de congruência e imersão de subvariedades de E e um problema de equivalência e imersão de subvariedades de um grupo de Lie substituindo a subvariedade S de E, de dimensão p, pelo espaço fibrado G dos referenciais de E cujos p primeiros vetores são tangentes a S. A variedade (generalização da variedade de Darboux de uma superfície) é subvariedade da variedade de todos os referenciais de E; esta última variedade, por sua vez, identifica-se com o grupo dos movimentos rígidos de E. Duas subvariedades S e S: de E são congruentes se e somente se as variedades associadas , consideradas como subvariedades do grupo dos movimentos rígidos diferem por uma translação a esquerda. Analogamente, em lugar de imergir o aberto U do espaço Rp diretamente em E, imergimos um espaço fibrado constyruido sobre U no grupo dos movimentos rígidos e em seguida projetamos a variedade obtida em E. No caso de um grupo de Lie, dois teoremas de E.Cartan(teoremas 2.1 e 2.2) resolvem os problemas de equivalência e imersão. A leitura desta tese pressupõe familiaridade com os fundamentos da geometria diferencial, isto é, com as noções de variedade diferenciável, grupo de Lie e, especialmente, com a teoria das conexões em espaços fibrados. Reduzimos a parte expositiva ao mínimo necessário para fixar e esclarecer a notação e incluirmos somente o que pensamos ser nossa contribuição. Julgamos desnecessário nos alongarmos sobre os conceitos básicos da geometria diferencial, usados neste trabalho, pois existem vários livros e artigos que cumprem essa tarefa melhor do que poderíamos fazer (veja-se, por exemplo, [1], [2], [4], [5] e [6]. Este trabalho, em essência, foi realizado quando o autor foi membro visitante do Instituto for Advanced Study, gozando também de bolsa de estudos da Fundação Guggenheim.
  • Imprenta:
  • Data da defesa: 05.11.1964

  • How to cite
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    • ABNT

      RODRIGUES, Alexandre Augusto Martins. Congruência de subvariedades de um espaço euclideano. 1964.Universidade de São Paulo, São Paulo, 1964.
    • APA

      Rodrigues, A. A. M. (1964). Congruência de subvariedades de um espaço euclideano. Universidade de São Paulo, São Paulo.
    • NLM

      Rodrigues AAM. Congruência de subvariedades de um espaço euclideano. 1964 ;
    • Vancouver

      Rodrigues AAM. Congruência de subvariedades de um espaço euclideano. 1964 ;


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